מאזן העוצמה בין מזרח ומערב – איך אחוז הנצחונות של המזרח והמערב משתנה ככל שהעונה מתקדמת

לפני כמה זמן כתבתי טור שמטרתו היתה להציג מודל מאוד פשוט שמתאר איך הבדלים קטנים בין העוצמות של שני קונפרנסים יכולים להתפתח להבדלים מאוד גדולים אחרי כמה שנים [http://www.hoops.co.il/?p=42492]. כאן אני רוצה לתאר איך אחוז הנצחונות של הקונפרנסים משתנה ככל שהליגה מתקדמת. כמו בטור הקודם אני מניח שניתן להתייחס אל המזרח כאל מכלול אחד ואל המערב כאל מכלול בלי להיכנס לפרטים שכל קונפרנס מורכב מקבוצות שלא שוות בכוחן.

בתחילת העונה כל קונפרנס, מזרח או מערב, מתחיל עם כוח יחסי מסוים, e ו-w. כאן e ו-w מייצגים את אחוז הנצחונות בנקודת זמן מסוימת. הערך שלהם בתחילת העונה הוא "התוצר" של המודל הקודם.

אני מניח שהמזרח משחק α אחוז מהמשחקים נגד המזרח ואת השאר נגד המערב. אם  α=0.7 זה אומר שהמזרח משחק 70% מהמשחקים נגד עצמו ו-30% מהמשחקים נגד המערב.

נניח שבשבוע ישנם בממוצע שלושה משחקים. מה הוא השינוי של e בשבוע זה ? ובכן, אם קבוצה מהמזרח משחקת נגד קבוצה אחרת מהמזרח, סיכוי הנצחון הוא 50% כי אני מניח שכל הקבוצות במזרח שוות זו לזו, וישנם  3α משחקים כאלה. אם לעומת זאת המזרח משחק נגד המערב סיכוי הנצחון הוא

e/(e+w)

וישנם 3(1-α)- משחקים כאלה. כלומר סך השינוי בכמות הנצחונות של e הוא

3(α/2+(1-α)e/(e+w))

אם כך, ניתן לכתוב את השינוי ליחידת זמן של e ו-w בצורה:

את השורה השניה קיבלנו מהראשונה על ידי החילוף הסימטרי של e ב-w בכל מקום.

מה הן תוצאות המודל ? בגרף 1 למטה רואים את אחוז הנצחונות של המזרח והמערב עם הזמן (הזמן הוא שרירותי, ניתן לחשוב שהוא מס' השבועות). התחלתי עם 60% הצלחה למערב ורק 40% הצלחה למזרח. מכיוון שכל קונפרנס משחק יותר עם עצמו מאשר עם הצד השני אחוז ההצלחה שואף עם הזמן לכיוון ה-50%, כלומר אחוז ההצלחה המערבי יורד עם הזמן בעוד זה של המזרח עולה. בזמן ארוך יותר ממה שנראה בגרף שניהם מתייצבים על 50%.

איך זה מסתדר עם נתוני ההצלחה של המזרח והמערב בפועל ? בגרף מס' 2 רואים את אחוז הנצחונות של המזרח והמערב בנקודות זמן שההפרש בינהן הוא בערך 10 ימים. לכל קונפרנס לקחתי את אחוז הנצחונות הממוצע. הנקודות הן הנתונים והקווים השחורים הם מהמודל שלי. רימיתי קצת בשתי נקודות: ראשית, מכיוון שכל קונפרנס מתחיל ביומה הראשון של הליגה ב-50% סיכויי הצלחה ואז "צולל" (מזרח) או "נוסק" (מערב) אל כוחו האמיתי, נקודת ההתחלה היא ה-30 בנובמבר 2014. שנית, לא טרחתי לברר מה הוא האלפא האמיתי ובחרתי ערך של α=0.6, כלומר שכל קבוצה במזרח משחקת 60% ממשחקיה עם קבוצות אחרות במזרח. זה נראה כאילו המגמה היא בעיקרה נכונה אם כי העקמומיות של עקומת הנתונים האמיתיים שונה מזו של המודל.

ניתן להכליל את המודל הפשוט הזה לתיאור של ליגה קצת יותר ריאליסטית בה יש N קבוצות שמשחקות האחת נגד השנייה. כולן מתחילות עם "עוצמה" מסוימת, כלומר אחוז ניצחונות מסוים, ואחוז זה גדל אם קבוצה משחקת נגד קבוצה נחותה ממנה וקטן אם היא משחקת מול קבוצה טובה ממנה. גם כאן מסתבר שכל הקבוצות שואפות לאחוז נצחונות קבוע, כפי שמשתקף מגרף 3.

כאן הנחתי שכל קבוצה משחקת באותה תדירות עם כל קבוצה אחרת.

המסקנה העיקרית ממודל מפושט זה היא שאחוז הנצחונות של כל הקבוצות שואף ל-50%.